Primitiva de una Función: Integrales y Resolución

Cómo resolver integrales indefinidas

Como ya he comentado anteriormente, las integrales inmediatas son aquellas que podemos resolver sin ningún procedimiento, tan solo “derivando al revés”. Sin embargo, hay integrales que no se pueden resolver de esa forma, y hay que recurrir a los procedimientos que vamos a ver a continuación.

Integración por partes

El método de integración por partes se utiliza para las integrales que son una multiplicación de dos funciones, es decir, f(x)g(x)dx. Para este método, basta con saber qué función de las dos es más fácil de derivar y cuál es más fácil de integrar, pues tendremos que hacer ambos procesos.

Una vez sepamos qué función nos resulta más fácil de derivar, a esta la llamaremos u, y a la que nos es más fácil integrar, dv (lógicamente, al ser una integral, nuestra dv incluirá a dx). Entonces, la integral quedará: ∫ u·dv. Para resolverla, utilizaremos la siguiente fórmula:

u·dv = u·v v·du

En caso de que la integral tras el signo menos sea también por partes, podemos repetir el proceso hasta que la solucionemos (las hay muy largas, pero no creo que vuestros profesores sean tan mala gente 🤔).

Vídeo explicativo y ejercicios resueltos

PRÓXIMAMENTE

Resolver Integrales Racionales

Para las integrales racionales (las que tienen como integrando una fracción), encontramos tres posibles casos:

1. Integral Racional Inmediata

Este caso, como podéis suponer, es el más sencillo y el que menos dolores de cabeza supone. Si la integral es inmediata, nos es tan fácil resolverla como sabernos la tablita. Recordad que, para una función en vez de x, en las derivadas seguíamos la regla de la cadena 😉.

Un buen ejemplo de estas sería: ∫ (2xdx)/(x² + 5)

Para esta integral indefinida, tenemos que tener en cuenta que la derivada de la función del denominador es la función del numerador. Entonces, por reducción a lo más básico, podemos verlo como si la función de abajo fuese, por ejemplo, t.

Si f(t)=t, ¿cuál es su derivada? Pues 1. Entonces vamos a mirarlo como una función. La función f(t) tiene encima a su derivada. ¿Cuál sería la derivada de 1/t? ln|t|, ¿verdad? ¡Pues aquí pasa lo mismo! Es tan sencillo como darse cuenta de lo que tenemos arriba y abajo. Quedaría así:

∫ (2xdx)/(x² + 5) = ln|x² + 5| + C

Spoiler: con esta reducción a lo simple, ya hemos visto un adelanto de lo que será el método de cambio de variable.

Vídeo explicativo y ejercicios resueltos

PRÓXIMAMENTE

2. Por división de polinomios

No es complicado averiguar la solución de integrales de fracciones con el grado del numerador mayor o igual que el del denominador. Es tan sencillo como dividir los polinomios y, por tanto, separar la integral en una suma de dos: la integral del cociente de la división, y la del resto partido por el divisor.

Por ejemplo: ∫ (2x² dx)/(x + 5)

Aquí, al ser el grado de arriba mayor que el de abajo, tenemos que dividir. La división de polinomios ya la visteis en 3º de ESO, ¡refrescad la memoria! Al dividir, nos queda un cociente de 2x-10, y un resto de 50. Entonces, la integral nos quedaría como el cociente más el resto entre el divisor:

∫ (2x² dx)/(x + 5) = (2x − 10) + (50dx)/(x + 5) = (2x − 10)dx + ∫(50dx) / (x + 5) = x² − 10x + 50ln|x + 5| + C

Vídeo explicativo y ejercicios resueltos

PRÓXIMAMENTE

3. Método de Descomposición en Fracciones Simples

Este método sirve para resolver integrales de fracciones con el grado de numerador MENOR que el del denominador. No es complejo, pero es quizá el más complicado de entender a priori. Consiste en descomponer el cociente en una suma de fracciones de menor grado. Por ejemplo, si nos encontramos con la integral:

Deberemos descomponerla

Teniendo esa integral, si descomponemos el denominador en factores nos queda (x+1)(x+4). Así, serán dos las fracciones que tendremos que averiguar: A/(x+1) y B/(x+4). A y B no las conocemos, pero las podemos sacar, ya que se cumple la igualdad:

Si nos quitamos los denominadores, multiplicando arriba y abajo, la ecuación quedará:

Y, por tanto, solamente tendremos que darle un valor a la x que anule una de las dos multiplicaciones para averiguar el valor de cada letra. Por ejemplo, si le damos a la x el valor -4:

Si hacemos lo mismo dándole a la x el valor -1:

Y ya tendríamos la descomposición, si la metemos en la integral ya podríamos resolverla:

Tras esa simplificación, las dos integrales son inmediatas, y su solución es la siguiente:

Vídeo explicativo y ejercicios resueltos

PRÓXIMAMENTE

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

A %d blogueros les gusta esto: