Primitiva de una Función: Integrales y Resolución

Introducción a las Integrales

En el cálculo infinitesimal (área de las matemáticas que se encarga de estudiar cambios continuos), la primitiva o antiderivada de una función es otra función que, si la derivásemos, obtendríamos la primera. En palabras más tecnicocultomatemáticas (neologismo cortesía de Academya):

Llamamos primitiva o antiderivada de una función f a otra función F que cumple: F’ = f

Por muy fácil que parezca decir: “se me acaba de iluminar la existencia, ya sé integrales, si solo es derivar pa’ atrás”, no vayas tan rápido, que hay ciertos procedimientos a seguir. No todas las integrales indefinidas, que así se llama al conjunto de primitivas de una función, son tan simples como parecen. Sin embargo, verás como después de leer este artículo, para ti, serán coser y cantar. Vamos a entrar en faena.

Integral Indefinida

Como ya he mencionado antes, se denomina integral definida de f(x), f(x)dx, al conjunto de todas las primitivas de esa funcion f. Y ahora viene la pregunta: ¿cómo que al conjunto? ¡Si me acabas de decir que solo es derivar a la inversa! No te desesperes, vamos a razonarlo un poco:

Hemos comentado que una antiderivada cumplía que F’ = f (seguimos con los nombres de antes). Pues bien (¡cuento con que ya sabes derivar!), ¿Cuál es la derivada f ‘ de f = 2x + 3 ? ¿Y la de f = 2x + 7? ¿Y la de f = 2x + 21? Si te das cuenta, todas son 2. ¿Por qué? Recuerda que, en derivadas, la de una constante siempre es 0. Entonces, una integral indefinida sí puede ser un conjunto… Y efectivamente, lo es. Así, f(x)dx si f(x) = 2 será ∫2dx = 2x + C (C simboliza una constante cualquiera, como su derivada es 0, da igual cuál).

Como pasa también en las derivadas, las integrales cumplen que:

  1. Puedo separar las sumas dentro de una integral en una suma de integrales: (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
  2. Puedo sacar fuera de la integral un número que la multiplica entera: k·f(x)dx = f(x)dx

Integrales Inmediatas

Estas integrales pueden ser definidas como las que se pueden resolver con pocas transformaciones o ninguna. En otras palabras, las puedes resolver sin utilizar los procedimientos que veremos luego.

¿Recordáis la tablita de derivadas que os dieron en 1º de Bachiller? Pues os la hemos ampliado para recoger también las integrales de las principales funciones. ¡Descárgala Aquí!

En resumen, las integrales inmediatas son en las que sí vale “derivar al revés”. Sin embargo, habrá momentos en los que tendremos que hacer alguna que otra transformación.

Ejemplo muy simple: Calcula la integral indefinida (7/x)dx.

Aquí, es sencillo pensar en la integral que le corresponde: (1/x)dx = lnx. Sin embargo, tenemos un 7 en el numerador. Sencillamente, sacamos ese 7 fuera de la integral, y listo: Habemus integral inmediata.

(7/x)dx = 7(1/x)dx = 7ln|x| + C

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS >

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